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Conseil préliminaire

Pour être à l’aise dans la résolution d’exercices faisant intervenir les réductions de pyramides, en général, il faut bien comprendre :

• les propriétés de Thalès (théorème de Thalès et sa réciproque)
• le théorème de Pythagore et sa réciproque.
• 1a) Représenter une pyramide à base carrée.

Soient :

h hauteur de la pyramide initiale : h = SO

h₁ hauteur de la pyramide réduite : h₁ = SO₁

On sait que

• la profondeur du tronc de pyramide est donnée par : h – h₁ = 30 cm (1)
• le coefficient de réduction (2)

La relation (2) donne  

Nous remplaçons h₁ par sa valeur dans la relation (1) soit :

 soit h = 45 cm

et   soit h₁ = 15 cm

1b) Calcul du volume du récipient

Le récipient correspond au tronc de pyramide donc son volume est celui de la pyramide initiale moins celui de la pyramide réduite.

On rappelle que le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de base multiplié par la hauteur :

Donc le volume du récipient est :

Avec S = AB × CD = AB² et S₁ = A₁B₁ × C₁D₁= A₁B₁²

Aussi

Alors :

donc   donc V_recipient = 832000 cm³.

donc 

2.

Une des faces latérales est ABB₁A₁ SAB est un triangle isocèle en A de même que SA₁B₁ donc la hauteur du trapèze est la hauteur issue de S dans le triangle SAB moins la hauteur issue de S dans le triangle SA₁B₁

Comme SAB isocèle en A. La hauteur issue de S coupe [AB] en son milieu. Soit I le pied de la hauteur issue de S abaissée sur AB. SOI est rectangle en O avec et SO = 45 cm

En appliquant la réciproque du théorème de Pythagore au triangle SOI on a SI² = SO² + IO² = 45² +120²

soit  

I₁I = SI – SI₁ avec

Ainsi donc

b) aire latérale = 4 × aire du trapèze

avec

aire du trapèze =

aire latérale =