1/ Développer et réduire l’expression M = 4(x - 1)² - (x - 5)²

M = 4(x² - 2x + 1) - (x² - 10x + 25)

M = (4x² - 8x + 4) - (x² - 10x + 25)

M = 4x² - 8x + 4 - x² + 10x - 25

{{M = 3x² + 2x - 21}}

2) Factoriser l'expression N = x² + 9 - 6x - (3 - x)(2x + 1)

Remarque :

x² + 9 - 6x est un carré parfait, on peut l'écrire sous la forme :

x² - 6x + 9 = x² - 2(3x) + 3² = (x - 3)²

Soit N = x² + 9 - 6x - (3 - x)(2x + 1) = (x - 3)² - (3 - x)(2x + 1)

N = (x - 3)² + (x - 3)(2x + 1) On voit que x - 3 est un facteur commun donc :

N = (x - 3)[(x - 3) + (2x + 1)]

N = (x - 3)(x - 3 + 2x + 1)

{{N = (x - 3)(3x - 2)}}

3) Détermination des valeurs de x pour lesquelles on a M N

On remarque que M est une différence de deux carrés : 4(x - 1)² = [2(x - 1)]² et (x - 5)²

donc M = [2(x - 1)]² - (x - 5)²

M = [2(x - 1) - (x - 5)][2(x - 1) + (x - 5)] = (2x - 2 - x + 5)(2x - 2 + x - 5)

M = (x + 3)(3x - 7)

Aussi N = (x - 3)(3x - 2)

Donc M N (x + 3)(3x - 7) (x - 3)(3x - 2)

Il n y a pas de facteurs communs entre les deux termes de l'inégalité donc il fallait développer N au lieu de factoriser M.

N = (x - 3)(3x - 2) = 3x² - 2x - 9x + 6 = 3x² - 11x + 6

M N 3x² + 2x - 21 3x² - 11x + 6

3x² + 2x - 21 - 3x² + 11x - 6 0

13x - 27 0 x

{{ }}

Représentation graphique de l'ensemble de ces valeurs de x :